柯西不等式入门：一道经典题

题目

求函数 $y = 3 x - 1 + 4 5 - x$ 的最大值。

函数定义域为 $1 \leq x \leq 5$ 。观察结构：两个根式 $x - 1$ 与 $5 - x$ 的”内部”之和是定值

(x - 1) + (5 - x) = 4,

而系数 $3$ 与 $4$ 都是常数。这正是柯西不等式的典型适用场景——“平方和为定值，求线性组合的最值”。

柯西不等式（二维形式）告诉我们：对任意实数 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ ，有

(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}),

等号成立当且仅当 $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$ （即两组数对应成比例）。

把 $y$ 看作 $3 \cdot x - 1 + 4 \cdot 5 - x$ ，取

a_{1} = 3, a_{2} = 4, b_{1} = x - 1, b_{2} = 5 - x,

则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 25$ ， $b_{1}^{2} + b_{2}^{2} = 4$ ，两者都是常数，最大值立刻可得。

由柯西不等式，

y^{2} = (3 x - 1 + 4 5 - x)^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) ((x - 1) + (5 - x)) = 25 \times 4 = 100.

因为 $y \geq 0$ ，所以

y \leq 10.

下面验证等号可以取到。等号成立的条件是

\frac{x - 1}{3} = \frac{5 - x}{4} .

两边平方得 $16 (x - 1) = 9 (5 - x)$ ，解得

25 x = 61 ⟹ x = \frac{61}{25} .

由于 $\frac{61}{25} \in [1, 5]$ ，在定义域内，故等号确实成立。

y_{m a x} = 10, 当 x = \frac{61}{25} 时取得

用柯西不等式求 $y = p u + q v$ 型最值的关键三步：

凑定值：检查 $u + v$ 是否为常数（本题中 $u + v = 4$ ）；
套公式： $y^{2} \leq (p^{2} + q^{2}) (u + v)$ ，一步得到上界；
验等号：解出取等条件 $\frac{u}{p} = \frac{v}{q}$ 对应的 $x$ ，并确认它落在定义域内——漏掉这一步，答案就只是”上界”而不是”最大值”。

一个常见的推广：对 $y = p x - a + q b - x$ （ $a < b$ ），有

y_{m a x} = (p^{2} + q^{2}) (b - a) .