数列递推：不动点法求通项

题目

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，且

$$a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+4}.$$

求数列的通项公式。

分析

这是分式线性递推 $a_{n+1}=\frac{A{a}_n+B}{C{a}_n+D}$，没有明显的等差、等比结构。处理这类递推的利器是不动点法：

设 $f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}$，方程 $x=f(x)$ 的根称为 $f$ 的不动点。若有两个不动点 $\alpha ,\beta$，则数列 $\left\{\frac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }\right\}$ 是等比数列。

先解不动点方程 $x=\frac{3x+2}{x+4}$：

$$x(x+4)=3x+2⟹x^2+x-2=0⟹x=1\text{或}x=-2.$$

两个不动点 $\alpha =1$、$\beta =-2$ 都存在，于是考虑构造 $b_n=\frac{a_n-1}{a_n+2}$，期望它是等比数列。

解答

第一步：求不动点。 由上，不动点为 $1$ 和 $-2$。

第二步：构造等比数列。 计算

$$a_{n+1}-1=\frac{3a_n+2}{a_n+4}-1=\frac{2a_n-2}{a_n+4}=\frac{2(a_n-1)}{a_n+4},$$ $$a_{n+1}+2=\frac{3a_n+2}{a_n+4}+2=\frac{5a_n+10}{a_n+4}=\frac{5(a_n+2)}{a_n+4}.$$

两式相除，分母 $a_n+4$ 恰好消去：

$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+2}=\frac{2}{5}\cdot \frac{a_n-1}{a_n+2}.$$

设 $b_n=\frac{a_n-1}{a_n+2}$，则 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$ 为首项、$\frac{2}{5}$ 为公比的等比数列：

$$b_n=\frac{1}{4}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-1}.$$

第三步：反解 $a_n$。 由 $b_n=\frac{a_n-1}{a_n+2}$，解得 $a_n(1-b_n)=1+2b_n$，即

$$a_n=\frac{1+2b_n}{1-b_n}=\frac{1+\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-1}}{1-\frac{1}{4}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-1}}.$$

上下同乘 $4\cdot 5^{n-1}$，可化简为

$$\boxed{a_n=\frac{4\cdot 5^{n-1}+2^n}{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}}$$

验证： $n=1$ 时 $a_1=\frac{4+2}{4-1}=2$ ✓；代入递推式 $a_2=\frac{3\times 2+2}{2+4}=\frac{4}{3}$，而公式给出 $a_2=\frac{20+4}{20-2}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$ ✓。

小结

不动点法的核心逻辑是”减去不动点，递推结构就会简化”：

1. 求不动点：解 $x=\frac{Ax+B}{Cx+D}$，即二次方程 $C{x}^2+(D-A)x-B=0$；
2. 两个不动点 $\alpha \ne \beta$：令 $b_n=\frac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }$，则 $\{b_n\}$ 为等比数列（本题公比为 $\frac{2}{5}$，恰为 $\frac{A-C\alpha }{A-C\beta }$）；
3. 重根情形：若只有一个不动点 $\alpha$，则 $\left\{\frac{1}{a_n-\alpha }\right\}$ 为等差数列；
4. 记得验证：求出通项后，代回 $n=1,2$ 检验，防止代数变形出错。

本质上，不动点是分式线性变换 $f$ 的”不变中心”，换元后以不动点为原点，$f$ 就退化为简单的伸缩（等比）或平移（等差）。